NP-완전

NP-완전(NP-complete, NP-C, NPC)은 NP 집합에 속하는 결정 문제 중에서 가장 어려운 문제의 부분집합이다. 모든 NP 문제를 다항 시간 내에 NP-완전 문제로 환산할 수 있다. NP-완전 문제 중 하나라도 P에 속한다는 것을 증명한다면 모든 NP 문제가 P에 속하기 때문에, P-NP 문제가 P=NP의 형태로 풀리게 된다. 반대로 NP-완전 문제 중의 하나가 P에 속하지 않는다는 것이 증명된다면 P=NP에 대한 반례가 되어 P-NP 문제는 P≠NP의 형태로 풀리게 된다.

정의

NP-완전은 다음 두 가지의 조건을 만족하는 결정 문제 C의 집합이다. 첫째, C가 NP에 속한다. 둘째, NP에 속하는 모든 문제를 다항 시간 안에 C로 변환할 수 있다. 즉, 다항 시간 환산을 할 수 있다. 여기에서 두 번째 조건은 NP-난해(NP-Hard)의 정의이고, 즉 NP-완전은 NP-난해 중 NP인 문제들의 집합이다. 또한 위 정의에서 알 수 있듯이, NP-완전인 C를 다항시간 안에 풀 수 있다면 모든 NP-완전 문제를 다항시간 안에 풀 수 있다. 그리고 다항식 시간 안에 구할 수 없는 문제들을 다른 다항 시간 안에 풀 수 있는 다른 문제로 환원해서 푸는 문제들을 특별하게 NP-난해 문제라고 한다. 다항식 시간 안에 도저히 풀 수 없기에 난해라는 이름을 붙였고, 이런 문제들을 위처럼 추측과 검증 과정을 통해서만 결정 해를 구할 수 있다. 그리고, NP 문제이면서 NP-난해 문제를 NP-완전 문제라고 한다. 즉, P-NP 문제는 'NP-완전 문제가 P문제가 맞느냐 아니냐'를 증명하는 것이다.

역사

NP-완전이라는 개념은 1971년에 스티븐 쿡(Stephen Cook)이 제시했지만, 그가 용어를 처음 만든 것은 아니다. 1971년 스톡(STOC) 회의에서는 'NP-완전 문제가 다항식 시간에 결정론적 튜링 기계로 해결될 수 있는가'라는 주제로 컴퓨터 과학자들 사이에 치열한 논쟁이 있었다. 존 홉크로프트(John Hopcroft)는 해당 안건은 어느 쪽이든 그들의 주장에 대한 공식적인 증거를 가지고 있지 않았기 때문에 나중에 해결되도록 연기되어야 한다고 주장했고, 회의 참석자들은 이에 만장일치로 동의했다. 이것은 P=NP의 의문으로 알려져 있다. NP-완전 문제가 다항식 시간에 실제로 해결될 수 있는지 여부를 결정적으로 판단할 수 있는 사람은 아무도 없었으며, 이는 수학의 가장 큰 미해결 문제 중 하나가 되었다. 스티븐 쿡은 충족 가능성 문제(SAT)가 위 정의의 두 가지 조건을 모두 만족한다는 것을 쿡-레빈 정리(Cook-Levin theorem)를 통해 증명했다. 1972년에 리처드 카프(Richard Karp)는 21가지의 다른 문제들도 마찬가지로 위 두 가지 조건을 만족한다는 것을 증명했다. 쿡이 최초의 NP-완전 문제를 발견한 이후로, 많은 사람들이 NP-완전 문제라고 이미 알려진 문제로부터 환산하는 방법으로 수많은 문제들 역시 NP-완전임을 증명했다. 마이클 게리(Michael Garey)와 데이비드 존슨(David Johnson)이 1979년에 컴퓨터 및 난해성: NP-완전성 지침서(Computers and Intractability: A Guide to NP-Completeness)를 통해 여러 NP-완전 문제들을 소개하였다.

문제 예시

어떤 새로운 문제가 NP-완전임을 것을 증명하기 위한 가장 쉬운 방법은 먼저 해당 문제가 NP에 있다는 것을 증명하고, 그 다음 알려진 NP-완전 문제를 NP-완전성 문제로 줄이는 것이다. 따라서, 다양한 NP-완전 문제를 아는 것이 유용하다. 아래 목록은 의사결정 문제로 표현될 때 몇몇 잘 알려진 NP-완전 문제들이다.

부울 만족도 문제(SAT) 배낭문제 해밀턴 경로 문제 출장 세일즈맨 문제(결정 버전)

서브그래프 이형성 문제 부분집합 문제 클라이크 문제 정점 커버 문제

독립 집합 문제 지배적인 세트 문제 그래프 컬러링 문제

P의 문제와 NP-완전성 문제 사이에는 작은 차이만 있는 경우가 많다. 예를 들어 부울만족도 문제의 제한인 3-만족도 문제는 NP-완전 상태로 남아 있는 반면, 약간 더 제한적인 2-만족도 문제는 P(NL-완전)에 있고, 약간 더 일반적인 최대 2-sat이다. 문제는 다시 NP-완전반적으로 NP-완전이다. 그래프를 2가지 색상으로 채색할 수 있는지 여부를 결정하는 것은 P지만 3가지 색상은 평면 그래프로 제한되어 있더라도 NP-완전하다. 그래프가 사이클인지 또는 양분인지 결정하는 것은 매우 쉽지만(L에서), 최대 양분율 또는 최대 사이클 하위 그래프를 찾는 것은 NP-완전이다. 최적 솔루션의 고정 비율 내에서 배낭 문제의 해결책은 다항 시간 내에 계산할 수 있지만, 최적의 해결책을 찾는 것은 NP-완전이다.

해밀턴 경로

해밀턴 경로(Hamiltonian path) 문제는 1857년 윌리엄 해밀턴(William Rowan Hamilton)이 정십이면체의 그래프 위의 해밀턴 순환을 찾는 문제를 제안하여 만들어졌다. 해밀턴은 이 문제를 아이코시언 게임(icosian game)이라고 불렀다. 해밀턴 경로는 모든 꼭짓점을 한 번씩 지나는 경로이다. 해밀턴 순환(Hamiltonian cycle)은 해밀턴 경로인 순환이다. 해밀턴 순환을 갖는 그래프를 해밀턴 그래프(Hamiltonian graph)라고 한다. 또한 해밀턴 경로를 갖는 그래프를 자취 존재 그래프(raceable graph)라고 한다.

알고리즘

어떤 그래프가 자취 존재 그래프인지 여부를 묻는 결정 문제는 해밀턴 경로 문제라고 하며, NP-완전 문제이다. 마찬가지로, 어떤 그래프가 해밀턴 그래프인지 여부를 묻는 결정 문제는 해밀턴 순환 문제라고 하며, 역시 NP-완전 문제이다. 유향 그래프에 대한 마찬가지 결정 문제 역시 NP-완전 문제이다. 몬테카를로 방법을 사용하여, n개의 꼭짓점을 갖는 그래프의 해밀턴 순환 문제는 O(1.657^{n})에 풀 수 있으며, 이분 그래프의 해밀턴 순환 문제는 O(1.414^{n})에 풀 수 있다. 퇴각검색 알고리즘을 사용하여, 삼차 그래프의 해밀턴 순환 문제는 O(1.251^{n})의 시간으로 풀 수 있다. 한편 해밀턴 그래프의 예시는 다음과 같다.

다음과 같은 그래프들은 해밀턴 그래프이다. 크기가 3 이상인 완전 그래프 크기가 3 이상인 순환 그래프 정다면체의 그래프

다음과 같은 그래프들은 해밀턴 그래프가 아니다. 비연결 그래프 트리(Tree) 그래프

다음과 같은 그래프는 자취 존재 그래프이지만 해밀턴 그래프가 아니다. 2개 이상의 꼭짓점을 갖는 경로 그래프

그래프 색칠

그래프 색칠(graph coloring)은 그래프의 꼭지점들에, 같은 색이 인접하지 않도록 색을 부여하는 방법이다. 이를 사용하여 그래프의 불변량을 정의할 수 있다. 그래프 $G$의 색칠 $(C,c)$은 집합 $C$ 및 함수 $c:V(G)$→$C$의 순서쌍이다. 이 경우, 임의의 변 $v_{1}$$v_{2}$∈$E(G)$에 대하여 $c(v_{1})$≠$c(v_{2})$이어야만 한다. 색칠 $(C,c)$에서, $C$의 원소를 색이라고 한다. 그래프 $G$의 두 색칠 $(C,c)$, $(C',c')$이 주어졌을 때, 만약 전단사 함수 $f:C$→$C'$가 존재하여 $c'=$$f$º$c$인 경우, 두 색칠이 서로 동형이라고 한다. 그래프 $G$의 변 색칠은 $G$의 선 그래프 $L(G)$의 색칠이다. 평면 그래프 $G$의 면 색칠은 그 쌍대 그래프(dual graph)$G'$의 색칠이다. 그래프 색칠 문제는 컴파일러에서 프로세서 레지스터를 할당하는 문제, 무선 기지국 사이에서 간섭을 없애기 위한 주파수 할당 문제 등에 응용된다. 스도쿠 역시 일종의 그래프 색칠 문제이다. 이 경우, 9×9 격자의 각 행·각 열·각 3×3 부분격자는 클릭을 이루며, 스도쿠는 주어진 부분적 9-색칠을 완성시키는 문제이다.

알고리즘

임의의 그래프에 대하여 $k$-색칠이 존재하는지 여부는 NP-완전 결정 문제다. 이는 리처드 카프가 1972년에 보인 21개의 NP-완전 문제 중의 하나이다. 임의의 그래프 $G$에 대하여, △$G$+1-색칠은 항상 존재하며, 탐욕 알고리즘으로 쉽게 찾을 수 있다.

충족 가능성 문제

충족 가능성 문제(satisfiability problem)는 어떠한 변수들로 이루어진 논리식이 주어졌을 때, 그 논리식이 참이 되는 변수값이 존재하는지를 찾는 문제이다. 만족성 문제, 만족도 문제, 만족 문제, 불린 충족 가능성 문제(boolean satisfiability problem)라고도 부른다.

계산 복잡도

충족 가능성 문제의 결정 문제는 NP-완전에 속한다. 이것은 스티븐 쿡이 쿡-레빈 정리를 통해 증명했으며, 이 문제는 NP-완전이라는 것이 증명된 최초의 문제이기도 하다. 또한, 논리식이 논리곱 표준형으로 이루어진 경우에도 역시 NP-완전에 속한다. k-충족 가능성 문제, k-SAT는 각 클로저에 들어있는 리터럴의 개수가 k개 이하로 구성된 논리곱 표준형(CNF) 논리식만 입력으로 받는 문제이다. 예를 들어 3-SAT는 한 절에 들어가는 리터럴 개수를 3개 이하로 제한하는 문제이다. 3-SAT도 마찬가지로 NP-완전 문제이다. 리터럴 개수를 정확히 3개로만 제한하는 문제는 이그잭트(EXACT) 3-SAT이라고 하며, 모든 SAT 문제는 다항 시간에 3-SAT 또는 이그잭트(EXACT) 3-SAT로 환산될 수 있다. 반면, 2-SAT, 논리곱 표준형에서 한 절에 들어가는 리터럴 개수가 2개 이하인 문제는 P에 속한다. 즉, 다항 시간에 풀 수 있다.

외판원 문제

외판원 문제(traveling salesman problem) 또는 순회 외판원 문제는 조합 최적화 문제의 일종이다. 줄여서 티에스피(TSP)라고도 쓴다. 이 문제는 NP-난해에 속하며, 흔히 계산 복잡도 이론에서 해를 구하기 어려운 문제의 대표적인 예로 많이 다룬다. 외판원 문제는 NP-난해라는 것이 증명되었다. 특히 외판원 문제를 결정 문제 "$x$값이 주어졌을 때 $x$보다 비용이 적게 드는 회로가 있는가"로 변환하면 NP-완전이 된다. 외판원 문제는 NP-완전 문제 중에서도 어려운 편으로, 일반적인 외판원 문제에 대한 다항 시간 근사 알고리즘은 P=NP가 아닌 한 존재하지 않는다는 것이 밝혀져 있다.

여러 도시들이 있고 한 도시에서 다른 도시로 이동하는 비용이 모두 주어졌을 때, 모든 도시들을 단 한 번만 방문하고 원래 시작점으로 돌아오는 최소 비용의 이동 순서를 구하는 것이다. 그래프 이론의 용어로 엄밀하게 정의한다면, "각 변에 가중치가 주어진 완전 그래프(weighted complete graph)에서 가장 작은 가중치를 가지는 해밀턴 순환을 구하라"라고 표현할 수 있다. 이 문제는 반드시 시작점으로 돌아와야 한다는 제약 조건을 없애도 계산 복잡도는 변하지 않는다.

크리스토피데스 알고리즘

크리스토피데스 알고리즘(Christofides algorithm)은 1976년에 니코 크리스토피데스(Nicos Christofides)에 의해 개발된 거리 공간 외판원 문제에서 근사해를 구하는 알고리즘이다. 위 근사 알고리즘은 최대 최적해의 3/2배 길이 안에 근사해를 구할 것을 보장한다. 특정 조건에서의 거리 공간 외판원 문제를 제외한 일반 거리 공간 외판원 문제를 해결하는 가장 좋은 근사해라고 알려져 있다.

알고리즘

외판원 문제 G=(V,w)를 정의해 보자. G는 V의 점들과 점들 사이 변으로 이루어진 완전 그래프이고, w는 G의 모든 변들에 0 이상의 가중치를 부여한다. 이 때 G의 모든 점들 u, v, x에 대해 다음의 삼각 부등식이 성립한다. w(uv) + w(vx) >= w(ux)

크리스토피데스 알고리즘은 다음과 같은 수도 코드로 표현할 수 있다.

1. G의 최소 비용 신장 트리 T를 구한다.
2. T의 홀수 차수 점들의 집합을 O라고 정의하면, O는 악수 보조 정리에 의해 짝수개의 원소를 가지게 된다.
3. O에 의해 형성된 유도 부분 그래프에서 최소 비용의 완벽 부합 M을 찾는다.
4. M과 T의 변들을 합쳐 모든 점들이 짝수 차수를 갖는 다중 그래프 H를 형성한다.
5. H에서 오일러 회로를 구성한다.
6. 5단계에서 찾은 회로에서 반복되는 점들을 제거하여 해밀턴 회로로 변경한다.

근사 비율

위 알고리즘으로 근사 비율은 3/2이다. 이를 증명하기 위해 C를 외판원 문제의 최적해라고 하자. C에서 임의의 변을 제거하면 신장 트리를 얻을 수 있는데, 이 신장 트리의 비용은 C의 비용보다 작다. (w(T) < w(C)) C의 주위에 순환 순서로 O의 꼭짓점에 숫자를 매기고 C를 다음 두 개의 경로 집합으로 나눈다. 이는 첫 번째 경로 꼭짓점이 홀수인 경로 집합과 첫 번째 경로 꼭짓점이 짝수인 경로 집합이다. 각 경로 집합은 O의 완벽 부합에 상응하는데, 각 경로와 경로의 두 끝점을 일치시켜 완벽 부합을 얻을 수 있다. 이 부합의 가중치는 경로의 가중치와 같아야 한다. 이 두 경로 집합이 C의 변 집합을 분할하기 때문에 두 집합 중 하나는 최대 C의 가중치의 절반을 가지며 해당 완벽 부합 또한 최대 C의 가중치의 절반에 해당하는 가중치를 가진다.

w(M) ≤ w(C)/ 2

T와 M의 가중치를 더해 오일러 경로를 구하면 최대 3w(C)/2의 가중치 변 집합을 얻을 수 있다. 지름길(Shortcutting)은 가중치를 증가시키지 않으므로 출력의 가중치도 최대 3w(C)/2이다.

근사 알고리즘

현재 NP-완전 문제를 다항 시간 안에 푸는 알고리즘은 발견되지 않았고, 또한 그러한 알고리즘이 존재할 것인지도 알려지지 않았다. 대신, 특정한 NP-완전 문제에 대한 근사 알고리즘(approximation algorithm)이 알려져 있다. 근사 알고리즘은 어떤 최적화 문제에 대한 해의 근사값을 구하는 알고리즘을 의미한다. 이 알고리즘은 가장 최적화되는 답을 구할 수는 없지만, 비교적 빠른 시간에 계산이 가능하며 어느 정도 보장된 근사해를 계산할 수 있다. 근사 알고리즘은 NP-완전 문제 등 현재 알려진 빠른 최적화 알고리즘이 없을 문제에 대해 주로 사용된다

근사 비율

근사 알고리즘은 근사해가 얼마나 최적해에 가까운지를 나타내는 근사 비율(Approximation Ratio)을 알고리즘과 함께 제시하여야 한다. 근사 비율은 근사해의 값과 최적해의 값의 비율로서, 1.0에 가까울수록 정확도가 높은 알고리즘이다. 근사 비율을 계산하려면 최적해를 알아야 하는 모순이 생긴다. 따라서 최적해를 대신할 수 있는 ‘간접적인’ 최적해를 찾고, 이를 최적해로 삼아서 근사 비율을 계산한다.

분기 한정법

분기 한정법(Branch and Bound)은 일정한 범위를 정하고 이 안에 해결이 가능한지 분석을 반복적인 시행착오를 통해 해를 구하는 방법이다. 다음은 분기한정법의 대표적인 문제인 '출장 영업사원 문제(Traveling Salesperson Problem)'이다. 외판원 한 명이 1번을 시작점으로 총 다섯 지역을 최소 시간으로 방문하려고 한다. 그리고 지점에서의 거리는 다음과 같다.

0 1 6 2 7
1 0 2 1 7
6 2 0 3 2
8 5 2 0 4
7 3 2 1 0

위는 각 지점에서 다른 지점으로 가는 거리를 나타내는 매트릭스이다. 예를 들어 1번 지점에서 5번 지점으로 가려면 총 7의 시간이 소요되고, 2번에서 4번 지점으로 이동하려면 1의 시간이 소요된다. 분기 한정법은 해를 구하기 위한 범위를 정하는 작업이다. 위 매트릭스의 각 열은 각 정점에서 다른 지역으로 가는데 걸리는 시간을 의미한다. 즉 각 열에서 자기 자신으로 이동하는 0을 제외하고 최소로 방문 하는 정점들을 하나씩 선택하여 최소값을 구할 수 있다. 이 값이 분명 우리가 구하려는 해는 아닐 것이다. 하지만, 해당 거리보다는 분명 크거나 같은 값이 나올 것이다.

첫번째 바운드(Bound) = min (1, 6, 2, 7) + min (1, 2, 1, 7) + min (6, 2, 3, 2) + min (8, 5, 2, 4) + min (7, 3, 2, 1) = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8

두 번째 분기를 설정하기 위해서 하나의 가정을 한다. 1번 정점에서 2번 정점으로 가는데 소요되는 시간은 1이다. 이 경로를 고정 시키고 최소값을 구하는 것이다. 1-2간선은 무조건 간다는 가정 하에 다른 최소 정점들을 구하는 것이다. 2번 정점을 갔다고 가정했으므로 2번 정점으로 가는 간선을 포함하지 않고 최소값을 구하면 된다.

두번째 바운드(Bound) = (1,2) 시간 + min (2, 1, 7) + min (6, 3 ,2) + min (8, 2, 4) + min (7, 2, 1) = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8  

두 번째 분기의 경우 1번에서 각 정점을 간다고 예상해야 하므로, 한 번의 계산으로 끝나지 않을 것이다. 위의 계산이 2번 정점을 대상으로 한 것이었고, 똑같이 3, 4, 5에 대해 진행을 해야 한다. 따라서 두 번째 바운드를 모두 진행한다면 2~5번 정점에 대한 분기는 8, 16, 9, 13으로 나오게 되고 (1,2) 정점이 선택되고 두번째 바운드 계산을 마친다.

같은 방법으로 세 번째 바운드를 계산한다. (1, 2)가 선택되었으므로, 1-2-3 / 1-2-4 / 1-2-5 로 간다는 가정 하의 최소 거리들을 구하면 된다.

세번째 바운드 (1-2-3) = 1 + (2,3) 시간 + min (6, 3, 2) + min (8, 4) + min (7, 1) = 1 + 2 + 2 + 4 + 1 = 10
세번째 바운드 (1-2-4) = 1 + (2,4) 시간 + min (6, 2) + min (8, 2, 4) + min (7, 2) = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8
세번째 바운드 (1-2-5) = 1 + (2,5) 시간 + min (6, 3) + min (8, 2) + min (7, 2, 1) = 1 + 7 + 3 + 2 + 1 = 14

이렇게 1-2-4의 경로가 선택되었다. 이와 같은 바운드 계산을 지속하면 1->2->4->3->5->1로 돌아오는 것이 최단 경로라는 점을 알 수 있고, 거리는 총 13이다. 이처럼 각 단계별로 가장 짧게 가는 정점을 순차적으로 구하는 방법이 바로 분기한정법이다.

외판원 문제의 근사 불가능성

어떤 변에서는 삼각 부등식이 성립하지 않는 비 거리 공간 외판원 문제는 어떤 최적화 문제에 대해 항상 $p$배를 벗어나지 않는 근사해를 구하는 알고리즘이 모든 p에 대해 존재하지 않는다. 비 거리 공간 외판원 문제 $G$를 정의하자.

마찬가지로 해밀턴 회로 판단 문제 $G$를 정의하고 $G$로부터 완벽 그래프 $G'$를 $V(G')$ = $V(G)$를 만족하도록 골라 가중치 $w$를 $G$에 포함된 변일 경우 1, 아닐 경우 $kn$을 부여한다. 이 때 "$G$에서 $k$ 다항 시간 근사 해법을 찾을 수 있다"는 명제와 '$G$'에서 가중치가 $kn$보다 작은 해밀턴 경로를 찾을 수 있다"는 명제가 동치임을 증명한다. $G$가 해밀턴 경로를 가지지 않는다면 모든 $G'$의 해밀턴 경로는 적어도 하나 이상의 $G$에 포함되지 않은 변을 사용해야 하므로 가중치가 $kn$보다 크다. $G$가 해밀턴 경로를 가진다면 $G'$에서도 가중치가 $n$인 같은 해밀턴 경로 T*를 찾을 수 있다. 그렇다면 다항 시간 근사 해법에 의하면 해밀턴 경로는 최대 k · w(T*) = kn 의 가중치를 가지게 된다. 따라서 비 거리 공간 외판원 문제 $G$의 근사 알고리즘이 존재한다면, 해밀턴 회로인지 판단하는 문제의 다항 시간 근사 해법이 존재하게 되어 NP-완전인 해밀턴 회로 판단 문제가 P임이 증명되었으므로 P=NP임이 증명되어 모순이다.

참고자료

• NP-완전 위키백과 - https://ko.wikipedia.org/wiki/NP-%EC%99%84%EC%A0%84
• NP-completeness Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/NP-completeness
• 해밀턴 경로 위키백과 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%B4%EB%B0%80%ED%84%B4_%EA%B2%BD%EB%A1%9C
• 외판원 문제 위키백과 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%99%B8%ED%8C%90%EC%9B%90_%EB%AC%B8%EC%A0%9C
• 그래프 색칠 위키백과 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%94%84_%EC%83%89%EC%B9%A0
• 충족 가능성 문제 위키백과 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B6%A9%EC%A1%B1_%EA%B0%80%EB%8A%A5%EC%84%B1_%EB%AC%B8%EC%A0%9C8
• 크리스토피데스 알고리즘 위키백과 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%81%AC%EB%A6%AC%EC%8A%A4%ED%86%A0%ED%94%BC%EB%8D%B0%EC%8A%A4_%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98
• 박동규 교수, 〈근사 알고리즘〉, 《창원대학교》
• 근사 알고리즘 위키백과 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B7%BC%EC%82%AC_%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98
• gyulee0220, 〈근사 알고리즘(Approximation Algorithm)〉, 《티스토리》, 2019-02-05

같이 보기

• NP

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