관성모멘트 편집하기

이는 힘 '''F'''가 주어지면, 계는 가속도 '''a'''로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 '''''m'''''은 물체가 힘에 '저항'하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌릴 때, 막대의 중심에서 돌리는 것과 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.

'''''n''''' 개의 질점이 있는 질점계가 회전축을 중심으로 각속도 '''''ω''''' 로 회전하고 있는 경우를 고려해보자. 이때, 물체의 회전 운동 에너지 '''''Tr''''' 는 각 질점의 운동 에너지의 합과 같다. 이때, '''''i''''' 번째 질점의 선속도를 '''''Vi''''' 라 놓으면,

그런데 '''''Vi ∙ Vi = vi²= (ri⍵)²''''' 이므로

회전축으로 부터 떨어진 거리가 '''''r''''' 인 점질량 '''''m''''' 이 있을 때, 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어진다.

이때, 같은 축으로부터 '''''n''''' 개의 입자가 있을 때, 계의 관성 모멘트는 각 입자의 관성 모멘트를 모두 합해준 값이므로 다음이 성립한다.

다만, [[연속체]](강체)에서는 질량이 연속적으로 분포함에 따라 위 식을 적분으로 대체할 수 있다. 이 경우에는 미소 관성 모멘트는 미소 질량에 회전축으로 부터 떨어진 거리를 곱한 값이 되므로 '''''dI=r²dm''''' 이 된다. 이때, '''r''' 에서의 밀도 '''ρ(r)''' 를 도입하면, 미소 질량 '''''dm=ρ(r)dV'''''로 밀도와 미소 부피의 곱으로 쓸 수 있다. 따라서 '''''dI=ρ(r)r²dV''''' 로 쓸 수 있으므로 연속체에서 관성 모멘트는

그러나 매우 얇은 판 등 표면 밀도 '''''σ(r)''''' 나 얇은 줄 등 선밀도 '''''λ(r)''''' 를 이용하여도 관성 모멘트를 구할 수 있는데 이들을 각각 단면 2차 모멘트, 단면 1차 모멘트라 하고 각각 다음과 같이 정의된다.

이때, '''''da, dl''''' 은 각각 미소 면적, 미소 길이이다.

아래의 모든 강체의 질량은 '''''M''''' 이며, 밀도는 균일하다.

질량이 '''''M''''' 인 질점계의 질량중심을 '''CM'''이라 하고, 그 점에서 수직으로 지나가는 회전축 '''I''' 에서 측정된 계의 관성 모멘트를 '''Icm''' 이라 하자. 또, 계에서 ''i'' 번째 질점을 ''mi'' 라 놓고, 회전축 '''I'''를 기준으로 i번째 질점까지의 위치 벡터를 '''r′i''' 라 하면,

이때, 축을 '''CM'''으로부터 '''a'''만큼 평행이동한 회전축 '''II''' 에서 측정된 관성 모멘트를 '''''I''p''' 라 하자. 이때, 축으로부터 질점까지의 거리 벡터는''' R′i = r′i −a ''' 가 된다. 따라서

'''a''' 는 constant vector이므로 시그마를 벗고 나올 수 있고, 제 33항은 질량중심을 나타내는 벡터와 관련된 것인데, '''r ′i''' 이 질량중심으로부터 측정된 벡터이기 때문에 제3항은 00이 된다. 따라서

수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. '''''xy''''' 평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해, 서로 수직한 세개의 축을 각각 '''''x, y, z''''' 축이라 하고, 각각의 축에서 측정된 관성 모멘트를 각각 '''''Iₓ, Iy, Iz''''' 라 하자. 이때, 각 축에 대한 '''''i''''' 번째 질점까지의 거리를 '''''rix, riy, riz''''' 라 놓으면, n개의 질점계에 대해