도움말:수학

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사칙연산

덧셈과 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다.

• $a+b=b+a$
• $a\times b=b\times a$

기하학

피타고라스의 정리

직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이를 각각 제곱한 후에 합한 것과 같다. 즉, 직각삼각형의 밑변의 길이를 $a$, 높이를 $b$, 빗변의 길이를 $c$라고 하면, 다음 공식이 성립한다.

• $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

삼각함수

직각삼각형 ABC에서 C가 직각일 때, 세 꼭지점 A, B, C의 마주보는 변의 길이를 각각 a, b, c라고 하면, 사인, 코사인, 탄젠트는 다음과 같이 정의할 수 있다.

• 사인 : $\sin A={\frac {a}{c}}$
• 코사인 : $\cos A={\frac {b}{c}}$
• 탄젠트 : $\tan A={\frac {a}{b}}$

해석학

인수분해

인수분해(因數分解)란 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수(factor)의 곱으로 분해하는 것을 말한다. 반대말은 전개이다.

• $x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$
• $x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}$
• $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

이차방정식의 근의 공식

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$을 만족하는 $x$의 값은 다음과 같다.

• $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

수열

수열 $\{a_{n}\}$의 제1항부터 제n항까지의 합은 다음과 같이 표기한다.

• $\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$

자연수 1부터 n까지 더한 합은 다음과 같이 계산할 수 있다.

• $\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

무한급수

무한급수(無限級數)란 수열에서 항의 개수가 무한히 많은 것을 모두 더한 것이다. 무한급수는 발산하거나 수렴한다.

• $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

미분

함수 $y=f(x)$에서 $f(x)$가 미분 가능한 경우, $\Delta x$와 $\Delta y$를 각각 $x$와 $y$의 증분이라고 하면, 다음 공식이 성립한다.

• $f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

일반적으로 $f(x)=x^{n}$을 $x$에 대해 미분하면, $f'(x)={\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$이다.

적분

폐구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대한 정적분은 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다.

• $\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x$ 이다. 단, $x_{k}=a+k\Delta x$ 이고, $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$ 이다.

일반적으로 $f(x)=x^{n}$을 적분하면, $\int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}$ 이다.

예를 들어 $f(x)=x^{2}$을 구간 $[0,1]$ 범위에서 정적분하면, $\int _{0}^{1}x^{2}dx=\left[{\frac {1}{2+1}}x^{2+1}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{3}}-0={\frac {1}{3}}$ 이다.

만약 $f(x)={\sqrt {x}}$을 구간 $[0,1]$ 범위에서 정적분하면, $\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}dx=\int _{0}^{1}x^{1 \over 2}dx=\left[{\frac {1}{{\frac {1}{2}}+1}}x^{{\frac {1}{2}}+1}\right]_{0}^{1}={\frac {2}{3}}-0={\frac {2}{3}}$ 이다.

확률과 통계

베이즈 정리

두 사건 A, B에 대하여, 다음 공식이 성립한다. 즉, 사건 B가 일어난 경우에 사건 A가 일어날 확률($P(A|B)$)은 사건 A가 일어난 경우에 사건 B가 일어날 확률($P(B|A)$)을 사건 A가 일어날 확률($P(A)$)로 곱한 후 사건 B가 일어날 확률($P(B)$)로 나눈 값과 같다.

• $P(A|B)={\frac {P(B|A)*P(A)}{P(B)}}$

정규분포

정규분포(正規分布)에서 평균을 μ, 표준편차를 σ라 하면, 확률밀도함수는 다음과 같다.

• $f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

변량 $X$가 정규분포를 따를 때, $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$라고 표시한다.

정규분포의 확률밀도함수를 적분하면 1이 된다.

• $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left({1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)dx=1$

참고자료

• 〈위키백과:TeX 문법〉, 《위키백과》

같이 보기

• 수학
• 도움말:특수문자
• 도움말:위키 고급 문법

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