시공간

시공간(space time, 時空間) 혹은 시공(時空)은 시간과 공간을 합친 것이다. 특히 상대성이론에서는 시간과 공간이 독립적이지 않고 서로 섞일 수 있음으로 시공간이라는 용어를 대체로 사용한다. 우리 세상은 3차원의 공간과 1차원의 시간을 합쳐 4차원의 시공간을 이룬다. 때로는 공간의 차원과 시간의 차원을 구분하여 (3+1)차원 시공간이라고 부르기도 한다.

개요

일반적인 3차원 공간과 1차원의 시간이 서로 조합되어 시공간의 4차원 다양체를 표현한다. 현대에 나온 초끈이론, 고리 양자 중력은 현재 표준적으로 고려되는 시공간 모델과 다른 모델을 제안했다. 예를 들어서 초끈이론에서는 우주의 시공간이 11차원이라고 주장한다. 고전 물리학에서는 뉴턴역학을 근거로 하며, 시간과 공간을 절대화하여 관측과는 독립하는 객관적으로 존재하는 범주로 보았다. 그러한 전제 아래 모든 물리현상을 거시적으로 다루었다. 그러나 관측자에 대한 시간과 공간의 상대화를 주장한 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)의 상대성이론이 나타나면서 그러한 전제가 무너졌다. 그러면서 양자역학에 의해 모든 물리 현상이 확률적, 통계적, 미시적으로 다뤄지면서 거시적 입장이 부정되었다.

상대성이론에 따라 모든 현상의 추이시간(推移時間)은 그 현상이 놓여 있는 공간의 상태(중력장의 영향)가 지배하에 있고 관측에 대한 상대운동에도 영향을 받는다. 이것은 여러 실험에서 확인이 되고 있다. 시간과 3차원 공간은 서로 독립적이 아니라 4차원 시공간으로 생각할 수 있으며, 4차원의 시공간의 회전을 로런츠변환이라 하는데, 이 변환에서는 시간 좌표와 공간 좌표가 대등한 변환을 받는다. 따라서 보편성, 균일성, 객관성을 갖춘 절대적 시간은 존재하지 않는다. 이때 4차원 시공간을 민코프스키 공간 혹은 민코프스키의 시공세계라고 하는데, 아인슈타인의 특수상대성이론의 기하학적 표현 수단이다.

민코프스키 공간

헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)

1907년 독일 수학자 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski) 최초로 사건들이 일어나는 장소와 시간을 따로 구분하지 않는 시공간으로 통합시키고 그에 걸맞은 기하학적 공간인 민코프스키 공간을 정의했다. 민코프스키는 1908년에 공간과 시간(Raum und Zeit)이라는 제목으로 연설하였는데, 이 연설은 지금도 유명하다.

Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund’ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.

제가 여러분 앞에 제시하려는 공간과 시간에 대한 관점은 실험 물리학에서 유래합니다. 이 관점의 강점은 여기에 있습니다. 이 관점의 성격은 과격합니다. 앞으로 공간 자체 및 시간 자체는 마치 그림자처럼 사라질 것이고, 오직 그 둘의 합체만이 독립적인 실체로 남을 것입니다.

처음에는 전자기학의 맥스웰 방정식에 어울리는 배경을 만들고자 연구를 시작했지만, 특수 상대성 이론이 알려지면서 헤르만 민코프스키 자신의 연구 성과가 특수 상대성 이론을 가장 잘 형식화 한다는 것을 알았다. 이것은 우연의 일치는 아니다. 왜냐하면 특수 상대성 이론 자체가 맥스웰 방정식과 갈릴레이 변환의 불협화음을 해소하고자 하는 바람에서 연구가 진행되었으며, 결정적 단서들을 제공했기 때문이다. 민코프스키는 시간과 공간(장소)을 따로 보는 관념은 그림자처럼 사라지고 시공간 통일체만이 독립적 실체로 남을 것이라고 하였다. 시간과 장소를 기하학적으로 밀접하게 통합한 최초의 사례이자 시공간의 비 유클리드 기하학이라는 화두를 던짐으로써 물리학적 패러다임 전환을 이뤄냈으며 인류가 시공간에 대한 더 깊은 이해를 하도록 선도했다. 수학자들이 비 유클리드 기하학을 만든 지 약 100년 동안 수학밖에는 아무런 연관이 없었는데, 민코프스키 공간은 비 유클리드 기하학이 최초로 수학이 아닌 것과 깊은 연관성을 보여줬다. 민코프스키의 업적이 알려지면서, 알베르트 아인슈타인은 논문을 통해 민코프스키 공간을 물리학에 도입하는 것에 대해 공식적으로 회의적 시각을 드러냈고, 불필요한 박식함이라고 무시하기도 했다. 그러나 일반 상대성 이론을 연구하면서 민코프스키의 기하학적 접근이 필수라는 것을 깨달았다. 현대에는 시공간을 기술할 때 민코프스키 공간이 필수다. 일반적으로 시공간은 준 리만 다양체 기술되며, 이는 평평한 상황에 해당하는 민코프스키 공간을 휘어진 경우까지 일반화한 것이다

수학에서 민코프스키 공간(Minkowski space)은 선형공간 $\mathbb {R} ^{4}$에 특정한 쌍선형 형식
$\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ 가 주어진 수학적 구조 $(\mathbb {R} ^{4},\eta )$이다. 간단한 준 리만 다양체의 예시라고도 본다.

공간의 3차원 벡터 ${\vec {x}}=(x,y,z)$ 를 확장하여 4차원 벡터 $x=(ct,x,y,z)$로 표현할 수 있다. 여기서 c는 빛의 속도이고 따라서 ct의 단위는 거리의 단위가 된다. t 대신 ct를 사용하는 이유는 x, y, z는 공간을 나타내므로 단위를 맞추려면 t 대신 ct를 사용한다. 치수가 다른 벡터의 구성 요소를 갖는 것은 의미가 없다. 어떤 물체가 시간 축(ct)을 따라서 움직인다면, 이것은 공간에서의 움직임이 아닌 시간을 통해 빛의 속도로 움직이고 있음을 의미한다. 아인슈타인에 의하면, 모든 관찰자는 그들은 정지해있지만 주위의 모든 것들이 움직이고 있다고 믿는다. 예를 들어 등속으로 달리는 기차 안에 있는 관찰자는 주위의 것들이 뒤로 밀려나는 것처럼 보이지만, 기차 밖에 서 있는 관찰자는 기차가 움직이는 것으로 보인다. 이것은 어떤 관찰자가 공간과 시간을 통해 여행할 때, 그들은 시공간에서 시간을 따라 움직이고 있다고 생각하는 것을 의미한다.

시공간 간격

시공간 간격(spacetime interval)은 시간을 포함하는 두 사건 사이의 공간을 말한다. 시공간 간격은 변하지 않는 양이므로 매우 중요하다.
$x'=x\cos \theta -y\sin \theta$, $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ 두 식은 고전 역학과 다르게, 로런츠 변환이 선형 변환이라 서로 다른 기준계인 상대성 이론에서는 맞지 않는다.

$x^{2}+y^{2}=x'^{2}+y'^{2}$ 기준계가 달라도 시공간 간격은 항상 일정하다.

$t^{2}+x^{2}$이 성립되지 않는 이유는 우선 시간은 기준계에 따라 다르고 시간 t와 장소 x의 단위가 다르기 때문이다. 좌표에서 $X=(X_{0},X_{1})=(ct,x)$를 의미하고 $X=(X_{0},X_{1},X_{2},X_{3})=(ct,X_{1},X_{2},X_{3})=...$ 이다.

로런츠 변환에서 t → ct로 수정하면,

$B=v/c$, $x_{2}=x'_{2}$, $x_{3}=x'_{3}$

로런츠 변환에서 시간과 장소가 공존했지만, 상대성 이론에서는 간단하게 서로 대칭이된다.
$x0^{2}+x_{1}^{2}\neq x\prime 0^{2}+x\prime _{1}^{2}$
$x\prime 0^{2}-x\prime _{1}^{2}=x0^{2}+\beta x_{1}^{2}-2\beta x0x_{1}-x_{1}^{2}-\beta ^{2}x0^{2}+2\beta x_{1}x0=x0^{2}-x_{1}^{2}$
$S^{2}=S'^{2}$이므로 시공간 간격은 항상 일정하다.
$S^{2}=(c\Delta t)^{2}-(\Delta x_{1})^{2}-(\Delta x_{2})^{2}-(\Delta x_{3})^{2}$

$S^{2}>0$ 시간과 같은 간격으로 두 사건은 인과관계로 연결되어 있다. $S^{2}<0$ 공간과 같은 간격으로 두 사건은 인과관계로 연결되어 있지 않다. 현재에서 과거로 가려면 빛보다 빨리 가야 하는데 빛은 우주 속도의 한계이므로 과거로 가기에는 시간이 모자라다. $S^{2}=0$은 빛과 같은 간격으로 두 사건은 오직 광속으로만 움직인다.

시공간은 로런츠 공변성이 있고 이것이 시공간의 대칭성을 극명하게 보여준다. 등방(isotropic)한 공간은 회전에 대한 대칭성이 있으며, 벡터의 길이 ${\vec {x}}\cdot {\vec {x}}$를 일정하게 보존한다. 로런츠 공변성은 시공간 벡터의 길이 $x\cdot x=(ct)^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}$를 일정하게 보존한다. 공간은 데카르트의 직교 좌표계로 잘 표현되듯이 시공간은 헤르만 민코프스키의 민코프스키 좌표계로 표현할 수 있다.

뉴턴역학의 시공간

일상의 경험 및 그에 바탕을 둔 뉴턴역학에서는 시간과 공간은 아무 관계가 없고 누구나 하나의 시간을 공유한다. 우주 전체에 공통으로 하나의 절대시간이 흐른다고 생각하여 어떤 좌표계에서도 시간과 공간은 섞이지 않는 것이다. 예를 들어 어떤 관성계 $S$에 대해 다른 관성계 $S'$이 $x$방향으로 상대속도 $v$로 운동하면, 두 좌표계 사이에는 다음과 같은 갈릴레이변환 관계가 성립한다.

$t'=t,$     $x'=x-vt,$     $y'=y,$     $z'=z.$

즉, 두 좌표계의 시간은 $t'=t$로 변하지 않는다.

특수상대성이론의 시공간

그림 1. 특수상대성이론의 시공간 그림과 빛원뿔

특수상대성이론의 기본 가정인 상대성원리와 광속 불변의 원리를 받아들이면 두 관성계는 다음과 같은 로런츠변환 식을 만족시킨다.

$t'=\gamma (t-{v \over c^{2}}x),$     $x'=\gamma (x-vt),$     $y'=y,$     $z'=z.$

여기에서 $\gamma ={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 로서 로런츠 인자라고 한다. 이 변환 식을 보면 좌표계 $S$의 어떤 시간 $t$에 대해 공간좌표 $x$가 달라지면, 좌표계 $S'$에서는 시간 $t'$이 달라진다. 즉, 한 좌표계에서 위치의 차이가 다른 좌표계에서는 시간의 차이로 나타난다. 이처럼 시간과 공간이 서로 완전히 독립적이지 않고 섞이기 때문에 상대성이론에서는 시간과 공간을 분리하지 않고 시공간이라는 하나의 용어로 기술하는 것이 자연스럽다. 4차원 시공간에서의 한 점은 사건(event)이라 부르는 데 시간과 공간좌표를 모두 모은 $(t,x,t,z)$으로 나타낼 수 있다.
상대성 이론에서 시간과 공간이 섞이기는 하지만 성격을 완전히 바꿀 수는 없다. 관성계 $S$에서 원점 $(0,0,0,0)$과 어떤 사이의 간격(interval) $s^{2}$을 다음과 같이 정의해보자.

$s^{2}=-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

위의 로런츠 변환에 의해 관성계 $S'$에서 간격 $s^{2}$을 계산해보면 변하지 않는 것을 알 수 있다. 즉,

$s'^{2}=-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=s^{2}$

이다. 수학 용어로는 이런 시공간을 민코프스키 시공간이라 부른다. 예를 들어, 관성계 $S$에서 시간 $t$에 원점에서 발생한 어떤 사건의 간격은 $s^{2}=-c^{2}t^{2}<0$이다. 그러면 로런츠 변환에 의해 관성계 $S'$에서는 이 사건이

$t'=\gamma t,$     $x'=-\gamma vt,$     $y'=y,$     $z'=z$

에서 일어나게 되어 시간과 공간이 섞였지만, 간격은

$s'^{2}=-c^{2}\gamma ^{2}t^{2}+(-\gamma vt)^{2}=-c^{2}t^{2}=s^{2}$

으로 변하지 않는다. 특히 간격의 부호가 여전히 음수다. 이처럼 어떤 사건 $(t,x,y,z)$는 간격 $s^{2}$이 양수인지, 음수인지, 혹은 0이냐에 따라 세 종류로 구분할 수 있고 이 구분은 로런츠 변환 때문에 시간과 공간이 섞여도 변하지 않는다. $s^{2}<0$인 경우를 시간꼴(timelike)이라 하고 $s^{2}>0$을 공간꼴(spacelike), $s^{2}=0$을 빛꼴(lightlike) 혹은 그냥 영(null)이라 한다. $s^{2}=0$인 빛꼴 사건들을 모두 모은 것을 빛원뿔(light cone)이라 한다. 편의상 방향을 생략하고 2차원 공간과 시간만을 고려했을 때 빛꼴 사건들이 그림 1처럼 원뿔을 이룬다. 그림 1은 시공간 그림(spacetime diagram)이라고 부르는데 수직축은 시간을 나타내고 아래쪽이 과거, 위쪽이 미래다. 수평면은 $xy$ 공간을 나타낸다. 원뿔의 꼭짓점을 원점 A로 잡았을 때 원뿔의 내부인 점 B는 시간꼴이고 외부인 점 C는 공간꼴이다. 질량이 있는 물체는 빛보다 빠르게 운동할 수 없음으로, A에 있는 물체는 원뿔 내부로만 움직일 수 있다. A에서 C로 이동하거나 영향을 주는 것은 불가능하다. 빛은 항상 빛의 속도로 움직이므로 A에서 출발한 빛은 빛원뿔 위의 한 직선을 따라 움직인다.

참고자료

• 〈시공간〉, 《네이버 지식백과(물리학백과)》
• 〈시공간〉, 《네이버 지식백과(두산백과)》
• 〈시공간〉, 《위키백과》
• 〈민코프스키 공간〉, 《위키백과》
• 이종필 건국대 상허교양대 교수, 〈(사이언스N사피엔스)시간과 공간이 아닌 시공간〉, 《동아사이언스》, 2021-04-01
• 옥수별, 〈시공간의 개념〉, 《네이버 블로그》, 2007-06-06
• Soo, 〈특수 상대성 이론 - 민코프스키 시공간과 시공간 간격〉, 《네이버 블로그》, 2019-03-02
• 김홍균 한서대학교 영상애니메이션학과 교수, 〈애니메이션 시공간의 변형적 흐름에 관한 연구 - 조르주 슈비츠게벨의 작품을 중심으로-〉, 《코리아 사이언스》, 2016-11-01
• 장서연 기자, 〈‘시공간 초월 메타버스’…시니어 치매 예방에 효과?〉, 《더데일리포스트》, 2021-06-27
• 박민주 기자, 〈의료 현장에도 '메타버스' 시대 도래 ... 시공간 초월 의료 교육 현실화〉, 《헬스코리아뉴스》, 2021-05-31
• 〈메타버스〉, 《위키백과》

같이 보기

• 시간
• 공간
• 1차원
• 2차원
• 3차원
• 4차원
• 상대성이론

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